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Contents

• Trees
• 이진 트리 (Binary Tree)
• 이진 탐색 트리 (Binary Serarch Tree)
• 균형 트리 (Balanced Tree)
  • 2-4 Tree
  • Red-Black Tree
• Hashing
  • 연쇄법 (chaining)
  • 선형 탐사법 (linear probing)
  • 이중 해싱 (double hashing)
  • Grid File (다차원 Hashing)
• 기수 탐색 (Radix searching)
  • 디지털 탐색 트리 (Digital Search Tree)
  • 기수 탐색 트라이 (Radix Search Trie)
  • 패트리샤 트리 (Patricia)
• 외부 탐색 (external seraching)
  • B-tree
  • B+-tree
  • R-tree

---

Trees

• Tree Terminology

  

Terminology	Explain	Example
Root	node without parent	A
Child	if node u is the parent of node v, v is a child of u	A
Internal node	node with at least one child	A, B, C, F
External node (=Leaf)	node without children	E, I, J, K, G, H, D
Ancestors of a node	parent, grandparent, great-grandparent, etc.
Siblings of a node	Any node which shares a parent
Depth of a node	number of ancestors (노드의 속성)	K의 경우, A, B, F이므로 3
Height of a tree	maximum depth of any node (트리의 속성)	3
Descendant of a node	child, grandchild, great-grandchild, etc.
Subtree	tree consisting of a node and its descendants (부분집합 같은 개념)
Degree	number of children of a node (트리의 속성)	F의 경우, I, J, K이므로 3
Edge	a pair of node (u, v) such that u is a parent of v((C, H))
Path	A sequence of nodes such that any two consecutive nodes form an edge	A, B, F, J
Ordered tree	a tree with a linear ordering defined for the children of each node

1) Preorder Traversal (P-L-R)

• A traversal visits the nodes of a tree in a systematic manner
• search 랑은 다르다. (모든 node들을 찾아가는 규칙)

• In a preorder traversal, a node is visited before its descendants
• Application: print a structured document

Algorithm preOrder(T,p)
  visit(p)
  for each child q of p
    preOrder(T,q)

2) Postorder Traversal (L-P-R)

• In a post order traversal, a node is visited after its descendants
• Application: compute space used by files in a directory and its subdirectories

Algorithm postOrder(T,p)
  for each child q of p
    postOrder(T,q)
  visit(p)

3) In-order Traversal

• In an inorder traversal, a node is visited after its left subtree and before its right subtree
• Application: draw a binary tree
  • x(v) = inorder rank of v
  • y(v) = depth of v

Algorithm inOrder(T,p)
  if ¬p.isExternal()
    inOrder(T,p.left())
  visit(p)

  if ¬p.isExternal()
    inOrder(T,p.right())

4) Euler Tour Traversal

• Generic traversal of a binary tree
• Includes as special cases the preorder, postorder and inorder traversals
• Walk around the tree and visit each node three times: (한 노드를 3번 반복)
  • on the left (preorder)
  • from below (inorder)
  • on the right (postorder)
• 한붓그리기 느낌

Algorithm eulerTour(T,p)
  visit(p) on the left // preOrder
  if ¬p.isExternal()
    eulerTour(T,p.left())
  visit(p) from below // inOrder
  if ¬p.isExternal()
    eulerTour(T,p.right())
  visit(p) on the right // postOrder

이진 트리 (Binary Tree)

• A binary tree is a tree with the following properties:
  • Each internal node has at most two children
    (exactly two for proper binary trees)
    • degree = 2
  • The children of a node are an ordered pair
• We call the children of an internal node left child and right child
• Are cursive definition
  • A binary tree is either empty or consists of:
    • A node r,called the root of T and storing an element
    • A binary tree, called the left subtree of T
    • A binary tree, called the right subtree of T
• Applications:
  • arithmetic expressions
  • decision processes
  • searching

Properties of Binary Trees

• Notation

  • n: number of nodes
  • e: number of external nodes
  • i: number of internal nodes
  • h: height

• Properties

  • e = i + 1 (외부노드 수 = 내부노드 수 + 1)
  • n = 2e - 1
  • h <= i
  • h <= (n - 1)/2
  • e <= 2^h
  • h >= log_2(e)
  • h >= log_2(n + 1) - 1

Arithmetic Expression Tree

• Binary tree associated with an arithmetic expression
  • Internal nodes: operators
  • External nodes(leaves): operands

이진 탐색 트리 (Binary Serarch Tree)

• A binary search tree is a binary tree storing keys (or key-value entries) at its internal nodes and satisfying the following property:
  • Let u, v, and w be three nodes such that u is in the left subtree of v and w is in the right subtree of v. We have
  • key(u) <= key(v) <= key(w)
• External nodes do not store items
• An inorder traversal of a binary search trees visits the keys in increasing order

Search

• To search for a key k, we trace a downward path starting at the root
• The next node visited depends on the comparison of k with the key of the current node
• If we reach a leaf, the key is not found and we return a null position

Algorithm TreeSearch(k, u)
  if u.isExternal()
    return u

  if k < u.key()
    return TreeSearch(k, u.left())
  else if k = u.key()
    return u
  else // k > u.key()
    return TreeSearch(k, u.right())

BST에서의 Insertion

참고 : https://new93helloworld.tistory.com/115?category=691027

• Step 1) Find k
• Step 2) Insert k
• Example:
  • 

• Assume k is not already in the tree, and let w be the leaf reached by the search
• We insert k at node w and expand w into an internal node

public:
    void insertItem(const Key& k, const Element& e) // insert (key, element)
        { inserter(k, e); }
protected:
    BTPosition inserter(const Key& k, const Element& e) { // insert utillity
        BTPosition p = finder(k, T.root()); // find insertion spot
        // 내부노드인 경우
        while (T.isInternal(p)) // key already exists?
            // look further
            p = finder(k, T.rightChild(p)); // leftChild로 해도 아무 상관 없음
        // 외부노드인 경우
        T.expandExternal(p); // add new node here
        setItem(p, BSTItem(k, e)); // store (key, element)
        return p;
    }

Example: Insertion

• put(5,"A")

  • 

• Inserting an entry with key 78

  • 

Removal

참고 : https://new93helloworld.tistory.com/116?category=691027

• To perform operation erase(k), we search for key k
• Assume key k is in the tree, and let v be the node storing k
• If node v has a leaf child w, we remove v and w from the tree with operation removeAboveExternal(w), which removes w and its parent
  • An example operation of removeAboveExternal(w)
  • 

public:
    // remove using key
    void removeElement(const Key& k) throw(NonexistentElementException) {
        BTPosition p = finder(k, T.root()); // find the node
        if (p.isNull()) // not found?
            throw NonexistentElementException("Remove nonexistent element");
        remover(p); // remove it
    }
protected:
    BTPosition remover(const BTPosition& r) { // remove utility
        BTPosition p;
        if (T.isExternal(T.leftChild(r))) // left is external?
            p = T.leftChild(r); // remove from left
        else if (T.isExternal(T.rightChild(r))) // right is external?
            p = T.rightChild(r); // remove from right
        else {
            p = T.rightChild(r); // p = replacement
            do
                p = T.leftChild(p); // ... right subtree
            while (T.isInternal(p));
            setItem(r, T.parent(p).element()); // copy parent(p) to r
        }
        return T.removeAboveExternal(p); // remove p and parent
    }

Example: Removal

erase(4)

Removing an entry with key 32

Removal (cont.)

• We consider the case where the key k to be removed is stored at a node v whose children are both internal
  • we find the internal node w that follows v in an inorder traversal
  • we copy key(w) into node v
  • we remove node w and its left child z (which must be a leaf) by means of operation removeAboveExternal(z)

Example: Removal

erase(3)

Removing an entry with key 65

Performance

• The height h is O(n) in the worst case
• Consider an ordered map with n items implemented by means of a binary search tree of height h
  • Functions find, put and erase take O(h) = O(n) time
• Functions size, empty take O(1)

균형 트리 (Balanced Tree)

• Balanced의 정의 : 모든 leaf node들이 같은 level에 있는 상태
• Balanced Tree의 정의 : 임의의 노드에서 파생되는 좌우의 부분트리의 노드 수가 최대 1 밖에 틀리지 않는 트리
  
  
• 이진 트리 알고리즘
  • 최악의 경우 성능이 나쁨
    • 정렬된 파일 또는 역순으로 정렬된 파일, 큰 키와 작은 키가 교대로 나오는 파일
• 성능 개선
  • 퀵 정렬의 경우 성능 개선 방법은 확률에 의해 임의의 분할 원소를 선택하는 수 밖에 없음
  • 이진 트리 탐색의 경우에는 트리를 균형 있게 유지하면 최악의 상황을 피할 수 있음
  • 일반적인 개념은 쉽게 기술할 수 있지만, 실제 구현에서는 특수한 상황을 고려해야 함

2-4 Tree

• Visualization : 2-3-4 tree (초기 로딩느림 주의)

• A (2,4) tree (also called 2-4 tree or 2-3-4 tree) is a multi-way search with the following properties
  • Node-Size Property
    • every internal node has at most four children
  • Depth Property
    • all the external nodes have the same depth
• Depending on the number of children, an internal node of a (2,4) tree is called a 2-node, 3-node or 4-node

Red-Black Tree

A red-black tree is a representation of a (2,4) tree by means of a binary tree whose nodes are colored red or black

Hashing

• 모든 키의 레코드를 산술 연산에 의해 한 번에 바로 접근할 수 있는 기법
• 해싱의 단계
  • 해시 함수(hash function)를 통해 탐색 키를 해시 테이블 주소로 변환
  • 같은 테이블 주소로 사상되었을 경우에는 충돌을 해결(collision-resolution)해야 함

특징

• 시간과 공간의 균형
  • 메모리의 제한이 없을 경우 : 키를 메모리 주소로 사용하면 어떤 탐색이든지 한 번의 메모리 접근으로 수행 가능
  • 시간에 제한이 없을 경우 : 최소한의 메모리를 사용하여 데이터를 저장하고 순차 탐색
• 해싱은 이러한 두 극단 사이에서 합리적인 균형을 이룰 수 있는 방법을 제공
• 해싱을 사용하는 목적은 가용한 메모리를 효과적으로 사용하면서 빠르게 메모리에 접근하기 위함

해싱과 이진 트리

• 이진 트리보다 해싱을 많이 사용하는 이유
  • 간단함
  • 아주 빠른 탐색 시간
• 이진 트리의 장점
  • 동적
    • 삽입 횟수를 미리 알고 있지 않아도 됨
  • 최악의 경우 성능을 보장
    • 해싱의 경우 아무리 좋은 해시함수라도 모든 값을 같은 장소로 해싱하는 경우가 발생
  • 사용할 수 있는 연산의 종류가 많음 (예: 정렬연산)

연쇄법 (chaining)

• 동일 주소로 해시되는 모든 원소가 연결 리스트 형태로 연결됨
• 장점
  • 원소의 삭제가 용이
• 단점
  • 포인터 저장을 위한 기억공간이 필요
  • 기억장소 할당이 동적으로 이루어져야 함

선형 탐사법 (linear probing)

• 해시 함수
  • 개방 주소법(open addressing) 사용 : m 값이 입력 원소의 수보다 커야 함
• 클러스터링이 발생
  • 점유된 위치가 연속적으로 나타나는 뭉치가 있으면 이것이 점점 더 커지는 현상 - 이러한 뭉치는 평균 탐색 시간을 증가시킴
• 성능 특성
  • 해시 테이블이 2/3 정도 차 있을 경우, 선형 탐사법은 평균적으로 5번보다 적은 탐 사를 수행
  • 성공적인 탐색은 테이블이 90% 정도 찰 때까지 5번 이하의 탐사로 가능
  • 성공적이지 않은 탐색은 항상 성공적인 탐색에 비해 비용이 많이 듬

이중 해싱 (double hashing)

• 클러스터링 문제를 해결

  • 선형탐사법은 두번째 이후에 탐사되는 위치는 초기 탐사 위치에 따라 결정
  • 두번째 이후 탐사되는 위치가 첫번째 탐사 위치와 무관하다면 클러스터링을 없앨 수 있음

• 성능 특성

  • 이중 해싱은 평균적으로 선형 탐사보다 적은 탐사 회수를 가짐
  • 이중 해싱은 선형 탐사에 비해 작은 테이블 크기를 가지고도 동일한 탐색 성능을 나타냄
  • 테이블이 80% 이하로 채워져 있을 경우 성공적이지 않은 탐색의 평균 탐사 회수는 5번 이하이며, 99% 채워져 있을 경우 성공적인 탐색을 5번 이하로 할 수 있음

Grid File (다차원 Hashing)

• 격자 파일
  • 전체 공간을 하나 이상의 격자(grid)로 분할
  • 데이터 추가에 따라 기존 격자를 분할하여 새로운 격자 구성
• 특징
  • 디스크 기반 -> 대용량 데이터 처리 가능
  • 해시 기반 -> 일반적으로 두 번의 디스크 접근으로 데이터 검색
• 격자 블록과 데이터 페이지
  • 기본적으로 하나의 격자 블록당 하나의 데이터 페이지
  • 두 개 이상의 격자 블록이 하나의 데이터 페이지에 대한 공유 가능

기수 탐색 (Radix searching)

• 탐색 키의 디지털 성질(0과 1)을 이용해 탐색을 위한 이진 트리를 만들어 탐색을 진행
• 탐색 키의 해당 비트가 0이면 왼쪽 자식을 방문하고, 1이면 오른쪽 자식을 방문
• 탐색 키가 클 때는 노드를 방문할 때마다 탐색 키를 비교하는 것이 성능에 많은 영향을 줌
• 기수 탐색 알고리즘은 탐색 키의 비교 횟수를 줄이면서 기억 장소의 낭비를 줄이고 구현을 쉽 게 하는 방향으로 개발되어 옴

디지털 탐색 트리 (Digital Search Tree)

• 탐색 키의 해당 비트가 0이면 왼쪽, 1이면 오른쪽으로 진행하여 단말 노드까지 이르면 그 곳에 새로운 노드를 삽입
• 노드를 방문할 때마다 탐색 키를 비교해야 하므로 탐색 키가 큰 경우 키 비교에 많은 시간이 걸림
• 균형은 맞지 않지만, 속도가 빠르다.
• 장점
  • 이해하기 쉽고 구현이 간단함
• 단점
  • 탐색 키의 비트에 따라 노드를 방문할 때 마다 디지털 탐색 트리의 키와 탐색 키를 매번 비교해야하므로, 탐색 키가 큰 경우에는 키 비교에 많은 시간이 소요

기수 탐색 트라이 (Radix Search Trie)

• 트라이(trie) : reTRIEval 에 유용하다고 하여 Fredkin이 명명함 (트리는 진짜 나무, 트라이는 덩쿨 같은 느낌)
• 노드를 내부 노드와 외부 노드로 나누어 내부 노드는 탐색시 왼쪽과 오른쪽 이동만을 나타내고 키는 외부 노드에만 저장
• 탐색 당 한 번의 키 비교만을 수행하므로 비교 시간을 절약
• 내부 노드는 키를 저장하지 않으므로 기억 장소의 낭비가 심하고, 내부 노드와 외부 노드를 나누어 관리해야 하므로 프로그래밍하기가 어려움

패트리샤 트리 (Patricia)

• “Practical Algorithm To Retrieve Information Coded In Alphanumeric”의 약자
• 노드에 몇 번째 비트를 비교할 것인지를 나타내는 숫자를 통해 내부 노드와 외부 노드의 구 분을 없애서 기억 장소를 절약
• 위쪽 링크(upward link)를 만나면 위쪽 링크가 가리키는 노드와 탐색 키를 비교하게 되므로 탐색당 1번만 비교 수행

• 노드마다 키를 비교해야 하는 디지털 탐색 트리의 단점과 내부 노드와 외부 노드를 두어 기억 장소를 낭비하는 기수 탐색 트라이의 단점을 동시에 극복한 방법

• 내부 노드에 키를 저장하여 기억 장소를 절약
• 상향 링크를 만날 때만 키 비교를 수행하게 하여 탐색 당 한 번의 비교만을 수행
• 디지털 탐색 트리와 기수 탐색 트라이의 단점을 동시에 극복

외부 탐색 (external seraching)

• 매우 큰 화일에 있는 데이터에 빠르게 접근하는 것은 많은 응용에서 매우 중요함
• 외부 탐색은 큰 디스크 화일을 주로 다룸
  • 테이프 같은 순차 접근 장치는 순차 탐색 외에 별다른 탐색 방법이 없음
• 외부 탐색 기법은 이미 배운 내부 탐색 기법의 논리적 확장임
• 10억개 이상의 데이타를 탐색하는데 불과 2∼3회의 디스크 접근으로 가능함
• 디스크는 페이지로 구분되어 있으며, 페이지는 많은 레코드를 가지고 있음

B-tree

• Visualization : B-tree (초기 로딩느림 주의)

B+-tree

• Knuth가 제안한 B-tree의 또 다른 변형 구조
  • Index set & Sequence set로 구성
  • 목적 : 순차 탐색의 성능 향상(B-tree의 순차 탐색 보완)
• 인덱스 세트 (index set)
  • 리프 이외의 노드
  • 구조 : 키 값만 존재(리프 노드에 대한 경로만 제공)
• 순차 세트 (sequence set) - 리프 노드
  • 구조 : 모든 (키값, 데이타 레코드의 주소)들이 존재

B+-tree의 성능 (B-tree와의 비교)

• 특정 키 값의 검색
  • 단점
    • 검색이 항상 리프 노드까지 내려가야만 종료 (항상 O(log n))
      • 검색하고자 하는 값이 인덱스 세트에서 발견되더라도 리프 노드까지 내려가야만 실제 레코드의 포인터를 알 수 있음
  • 장점
    • 인덱스 노드는 포인터를 저장하지 않으므로 노드 내 공간이 절약됨 → 트리레벨이 낮아질 수 있음
    • 범위 검색
      • 연결리스트를 순회 → 효율적
    • B+-트리는 키 검색과 범위 검색을 모두 필요로 하는 응용에서 효율적
      • DBMS
      • File systems

R-tree

• B-tree를 다차원으로 확장시킨 완전 균형 트리
• 선, 면, 도형 등 다양한 다차원 공간 데이터의 저장이 가능(SAM)
• 특징
  • 루트 노드가 아닌 노드는 최소 m, 최대 M개의 엔트리를 포함한다. (m <= M/2)
  • 루트노드는 단말이 아닌 경우 최소 2개의 엔트리를 포함한다.
  • 완전 균형트리(모든 단말 노드는 같은 레벨)이다.

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